海龍的誕生

海龍的誕生~
今有一三角形邊長分別為a,b,c,
吾人令c邊上的高為h

根據勾股定理,得
(a^2-h^2)^0.5+(b^2-h^2)^0.5=c
移項後,得
(a^2-h^2)^0.5-c= -(b^2-h^2)^0.5
兩邊同時平方,得
a^2-h^2-2*c*(a^2-h^2)^0.5+c^2=b^2-h^2
移項後,得
a^2-b^2+c^2=2*c*(a^2-h^2)^0.5
兩邊再同時平方,得
(a^4)+(b^4)+(c^4)-2*(a^2*b^2)-2*(b^2*c^2)+2*(a^2*c^2)=4*(a^2*c^2)-4*(c^2*h^2)
移項後,得
4*(c^2)*(h^2) = -(a^4) -(b^4) -(c^4) +2*(a^2*b^2) +2*(b^2*c^2) +2*(c^2*a^2)
根據平方公式
(A+B+C)^2=(A^2)+(B^2)+(C^2)+2*(A*B)+2*(B*C)+2*(C*A)
比對右式後,可令A= a^2, B= b^2, C= -c^2, 代入上式後, 得
(a^2+b^2-c^2)^2=(a^4)+(b^4)+(c^4)+2*(a^2*b^2)-2*(b^2*c^2)-2*(c^2*a^2)
因此
   -(a^4) -(b^4) -(c^4) +2*(a^2*b^2) +2*(b^2*c^2) +2*(c^2*a^2)
= -(a^2+b^2-c^2)^2+4*(a^2*b^2)
利用平方差公式(  (x^2) - (y^2) = (x+y) * (x-y)  ), 把上列右式化為
[-(a^2+b^2-c^2)+2*(a*b)]*[(a^2+b^2-c^2)+2*(a*b)]
其中
-(a^2+b^2-c^2)+2*(a*b) = -(a^2-2*a*b+b^2)+(c^2) = -(a-b)^2+(c^2) = (a-b+c)*(-a+b+c)
(a^2+b^2-c^2)+2*(a*b) = (a^2+2*a*b+b^2) - (c^2) = (a+b)^2 -c^2 = (a+b+c)*(a+b-c)
綜合上述結果,得
4*(c^2)*(h^2)=(a-b+c)*(-a+b+c)*(a+b+c)*(a+b-c)=(a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)
三角形面積為二分之一的底乘高,即
c*h/2=(1/4)*[(a-b+c)*(-a+b+c)*(a+b+c)*(a+b-c)=(a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)]^0.5
設s=(a+b+c)/2,上式可簡化成
[s*(s-a)*(s-b)*(s-c)]^0.5
此式即為傳說中的海龍公式!!